"Ao infinito e além!"
Você já pensou profundamente no famoso slogan do Buzz Lightyear dos filmes "Toy Story"? Provavelmente não. Mas talvez você às vezes tenha olhado para o céu noturno e se perguntado sobre a natureza do próprio infinito.
O infinito é um conceito estranho, que o cérebro humano tem dificuldade em entender com compreensão limitada. Dizemos que o universo pode ser infinito, mas pode realmente continuar para sempre? Ou os dígitos de pi após o decimal - eles realmente funcionam infinitamente, sempre nos dando muito mais precisão sobre a razão entre a circunferência e o raio de um círculo? E o Buzz poderia estar certo? Existe algo além do infinito?
Para enfrentar essas especulações alucinantes, a Live Science contou com a ajuda do matemático Henry Towsner, da Universidade da Pensilvânia, na Filadélfia, que teve a gentileza de tentar responder à pergunta: "Você pode contar o infinito passado?" (Esteja avisado: isso vai ficar complicado.)
O infinito, disse Towsner, fica em um lugar estranho: a maioria das pessoas sente alguma intuição sobre o conceito, mas quanto mais elas pensam, mais estranho fica.
Os matemáticos, por outro lado, nem sempre pensam no infinito como um conceito por si só, acrescentou. Em vez disso, eles empregam maneiras diferentes de pensar sobre o assunto, a fim de abordar seus diversos aspectos.
Por exemplo, existem diferentes tamanhos de infinito. Isso foi comprovado pelo matemático alemão Georg Cantor no final de 1800, de acordo com uma história da Universidade de St Andrews, na Escócia.
Cantor sabia que os números naturais - isto é, números inteiros e positivos como 1, 4, 27, 56 e 15.687 - continuam para sempre. Eles são infinitos, e também são o que usamos para contar as coisas, então ele os definiu como "infinitamente contáveis", de acordo com um site útil sobre história, matemática e outros tópicos do cartunista educacional Charles Fisher Cooper.
Grupos de números contados infinitos têm algumas propriedades interessantes. Por exemplo, os números pares (2, 4, 6, etc.) também são contados infinitamente. E embora existam tecnicamente metade deles como o que é abrangido pelo conjunto completo de números naturais, eles ainda são o mesmo tipo de infinito.
Em outras palavras, você pode colocar todos os números pares e todos os números naturais lado a lado em duas colunas e as duas colunas vão para o infinito, mas elas têm o mesmo "comprimento" do infinito. Isso significa que metade do infinito contável ainda é infinito.
Mas o grande insight de Cantor foi perceber que havia outros conjuntos de números que eram infinitamente infinitos. Os números reais - que incluem os números naturais, bem como frações e números irracionais como pi - são mais infinitos que os números naturais. (Se você quiser saber como o Cantor fez isso e pode lidar com algumas notações matemáticas, confira esta planilha da Universidade do Maine.)
Se você alinhar todos os números naturais e todos os números reais lado a lado em duas colunas, os números reais se estenderão além do infinito dos números naturais. Mais tarde, Cantor enlouqueceu, provavelmente por razões não relacionadas ao seu trabalho no infinito, segundo Cooper.
O que está contando?
Então, voltando à questão de contar o infinito passado. "O que a matemática faz você perguntar é: 'O que isso realmente significa?", Disse Towsner. "O que você quer dizer com contar o infinito passado?"
Para chegar ao assunto, Towsner falou sobre os números ordinais. Diferentemente dos números cardinais (1, 2, 3 e assim por diante), que informam quantas coisas há em um conjunto, os ordinais são definidos por suas posições (primeiro, segundo, terceiro etc.) e também foram introduzidos na matemática por Cantor, de acordo com o site de matemática Wolfram MathWorld.
Nos números ordinais, há um conceito chamado ômega, indicado pela letra grega ω, disse Towsner. O símbolo ω é definido como a coisa que vem depois de todos os outros números naturais - ou, como Cantor o chamava, o primeiro ordinal transfinito.
Mas uma das coisas sobre números é que você sempre pode adicionar outra no final, disse Towsner. Portanto, existe algo como ω + 1, e ω + 2 e até ω + ω. (No caso de você estar se perguntando, você acaba atingindo um número chamado ω1, que é conhecido como o primeiro ordinal incontável.)
E como contar é como adicionar números adicionais, esses conceitos de certa forma permitem contar o infinito passado, disse Towsner.
A estranheza de tudo isso faz parte do motivo pelo qual os matemáticos insistem em definir rigorosamente seus termos, acrescentou. A menos que tudo esteja em ordem, é difícil separar nossa intuição humana normal do que pode ser provado matematicamente.
"A matemática está lhe dizendo: 'Inspecione profundamente, o que está contando?", Disse Towsner.
Para nós, meros mortais, essas idéias podem ser difíceis de calcular completamente. Como exatamente os matemáticos que trabalham lidam com todo esse negócio engraçado em suas pesquisas do dia-a-dia?
"Muito disso é prática", disse Towsner. "Você desenvolve novas intuições com exposição e, quando a intuição falha, você pode dizer: 'Estamos falando sobre esta prova rigorosa, passo a passo exata.' Portanto, se essa prova é surpreendente, ainda podemos verificar se está correta e aprender a desenvolver uma nova intuição em torno disso ".
