Meu senso de física me diz que a velocidade de rejeição é a velocidade de escape.
Essa minimização pode funcionar melhor com uma razão entre a mudança total de energia do sistema de asteróides mais o material ejetado e a energia do material ejetado. A equação do foguete é de alguma ajuda. A equação do foguete é uma conservação do resultado do momento com
d (mv) / dt = 0 -> (m -? m) (v +? v) -? mV = 0
onde V é a velocidade da massa da reação, v e m é a mudança na velocidade e perda de massa do “foguete” ou, neste caso, o asteróide, e m e v são a massa e a velocidade inicial do objeto. Definimos v = 0 e obtemos
? v = V (? m / m)
e a velocidade integrada acima é v = V ln (m_i / m_f), para m_i a massa inicial e m_f a massa final. Se a mudança de massa é pequena, temos
v ~ = V (m_i / m_f - 1)
e o momento do asteróide no final é p ~ = V (m_i - m_f). Deixamos agora V = u - v_e, para v_e a velocidade de escape e u a velocidade do objeto descartado. Isso significa que V é a velocidade do objeto descartado "no infinito".
Agora, suponha que desejamos minimizar a energia cinética do asteróide K = (1/2) p ^ 2 / m_f para um dado vazamento de energia cinética E = (1/2)? Mu ^ 2. Construímos uma proporção adimensional,
R = p ^ 2 / m_f / (? Mu ^ 2 / = (p / u) ^ 2 / (? Mm_f) = (? M / m_f) (1 - v_e / u) ^ 2.
BTW, é importante trabalhar com uma proporção sem dimensão. Portanto, minimizamos isso por um determinado m e calculamos u. Então minimizamos
A função f (u) = (1 - v_e / u) ^ 2, -> dF (u) / du = -2 (1 - v_e / u) * v_e / u ^ 2,
e este é zero em v_e = u. Isso parece um pouco estranho, dada a fórmula da equação do foguete, mas discutirei isso abaixo.
Em seguida, tomamos a segunda derivada para determinar se isso é máximo ou mínimo e obtemos
D ^ 2F (u) / du ^ 2 = 4 (1 - v_e / u) * (v_e / u ^ 2) ^ 2 - 2 (v_e / u ^ 2) ^ 2
que em u = v_e é -2 <0 e, portanto, é um minuto, o que queremos. Também está claro que u = v_e é a energia cinética mínima que podemos transmitir à massa.
Parece estranho que tenhamos v ~ = V (m_i / m_f - 1), que para V = u - v_e é zero em u = v_e. No entanto, para u = v_e, o asteróide está se movendo até o objeto lançado atingir o infinito. O objetivo de fazer isso é criar um deslocamento do asteróide e, à medida que o objeto rejeitado atinge o "infinito", o asteróide alcançará alguma distância de deslocamento.
LC
